Comment le nombre i peut-il être la racine carrée de −1 ?

Transcription complète

Retrouvez ici le texte de l’épisode dans l’ordre de lecture.

1. Case 01 Bonjour ! Aujourd’hui, je vous propose de découvrir le nombre i, ce mystérieux symbole mathématique inventé pour répondre à une question impossible : quelle est la racine carrée d’un nombre négatif ? Accrochez-vous, l’histoire commence dans l’Italie du XVIe siècle, avec un vrai problème de calcul très concret.
2. Case 02 Tout commence avec Raphaël Bombelli, ingénieur italien qui asséchait des marais ! En 1572, il travaille sur la formule de son confrère Cardan pour résoudre des équations à trois inconnues. Problème : certaines équations, pourtant solvables, obligent à calculer la racine carrée d’un nombre négatif, ce qui semblait totalement impossible à l’époque.
3. Case 03 Bombelli a une idée audacieuse : et si on faisait « comme si » cette racine impossible existait, juste pour calculer ? Il invente des règles de calcul pour ces nombres qu’il appelle « impossibles ». Résultat stupéfiant : la méthode fonctionne et redonne la bonne réponse, une solution réelle et vérifiable, malgré ce détour par l’impossible !
4. Case 04 C’est le philosophe Descartes qui, en 1637, baptise ces nombres « imaginaires » — un nom resté jusqu’à aujourd’hui ! Mais attention : ce n’était pas un compliment. Descartes pensait qu’aucune quantité réelle ne correspondait à ce qu’on imaginait, et il avoue lui-même ne pas savoir calculer avec eux. Le nom est né du rejet, pas de l’admiration.
5. Case 05 En 1777, le génial Leonhard Euler simplifie tout : il remplace la notation encombrante racine de moins un par un simple symbole, le i, comme « imaginaire ». Mathématiquement, i au carré donne moins un, point final. Cette même année, Euler publie aussi sa fameuse formule reliant exponentielle, cosinus et sinus grâce à ce nombre i.
6. Case 06 Vers 1800, plusieurs mathématiciens (Wessel, Argand, puis Gauss) ont une idée révolutionnaire : représenter ces nombres imaginaires comme des points sur un plan à deux dimensions ! L’axe horizontal pour les nombres réels classiques, l’axe vertical pour les nombres imaginaires. Soudain, i devient visible, géométrique, presque tangible : c’est le plan complexe.
7. Case 07 En 1843, à Dublin, le mathématicien Hamilton cherche depuis des années à étendre ces nombres à l’espace en trois dimensions. En marchant sur ce pont avec sa femme, l’illumination survient : il grave sur la pierre la formule des quaternions, un système à quatre dimensions utilisant trois unités imaginaires i, j et k. Fait rare : on connaît la date et le lieu exacts de cette découverte !
8. Case 08 Question moderne et toujours débattue : en physique quantique, i est-il un simple outil pratique, ou une nécessité absolue de la réalité ? Des expériences menées en 2021 avec des photons intriqués semblaient prouver que oui, les nombres imaginaires sont indispensables. Mais coup de théâtre : des travaux publiés en 2025 ont remis en cause cette conclusion. Le débat reste ouvert aujourd’hui.
9. Case 09 Et dans la vraie vie ? Les ingénieurs en électricité utilisent i tous les jours pour calculer les courants alternatifs, mais ils le renomment j, car i désigne déjà l’intensité électrique ! On retrouve aussi i dans les fractales, comme l’ensemble de Mandelbrot, et même au cœur de l’hypothèse de Riemann, le plus grand mystère mathématique encore non résolu.
10. Case 10 Voilà : un nombre né d’un problème impossible, rejeté pendant trois siècles, devenu indispensable en électricité, en quantique, en fractales. i nous apprend qu’accepter temporairement l’impossible peut révéler des vérités bien réelles. Et vous, quelle autre « impossibilité » mathématique aimeriez-vous explorer la prochaine fois ?