Peut-on vraiment construire un carré de même aire qu'un cercle avec une simple règle et un compas ?

Transcription complète

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1. Case 01 Bonjour ! Aujourd’hui, je vous propose de découvrir la quadrature du cercle : un défi vieux de 3 700 ans. Le principe ? Construire un carré ayant exactement la même aire qu’un cercle donné, avec seulement une règle et un compas. Dès 1650 avant J.-C., le scribe égyptien Ahmès en proposait déjà une solution approchée dans le Papyrus Rhind : pour lui, un cercle de diamètre 9 correspond à un carré de côté 8, ce qui donne π ≈ 3,16. Pas mal pour l’époque !
2. Case 02 Vers 440 avant J.-C., le mathématicien grec Hippocrate de Chios réussit quelque chose d’extraordinaire : il quadratura exactement une « lunule », une surface délimitée par deux arcs de cercle. C’était la première fois qu’on prouvait qu’une figure aux contours courbes peut avoir une aire identique à un carré. Cette découverte électrisa les mathématiciens grecs — si on peut quadrater une lunule, peut-être peut-on quadrater un cercle entier ? Mais la réponse restera négative pendant encore 23 siècles.
3. Case 03 C’est dans cette obscurité qu’est né le premier « quadrateur » connu de l’histoire. Vers 430 avant J.-C., le philosophe Anaxagore, emprisonné à Athènes pour impiété — il avait osé dire que le Soleil est une boule de feu, pas un dieu —, tenta de résoudre la quadrature du cercle dans sa cellule. L’historien Plutarque nous le rapporte. Ce détail révèle quelque chose d’essentiel : ce problème a toujours attiré les esprits rebelles, ceux qui refusent de tolérer qu’une question puisse rester sans réponse.
4. Case 04 Vers 250 avant J.-C., Archimède de Syracuse accomplit le plus grand bond de l’Antiquité sur ce sujet. Il encadra le cercle entre deux polygones réguliers, en doublant à chaque étape le nombre de leurs côtés — jusqu’à 96 côtés chacun. Il prouva ainsi que π est compris entre 3 + 10/71 et 3 + 10/70, soit notre célèbre approximation 22/7. Plus important encore : il montra que la quadrature du cercle équivaut à construire un segment de longueur exactement π — et c’est là que tout se complique vraiment.
5. Case 05 En 1655, le grand philosophe anglais Thomas Hobbes — auteur du Léviathan — publia ce qu’il croyait être la démonstration de la quadrature du cercle dans son traité De Corpore. Le mathématicien John Wallis réfuta ses erreurs avec une ironie mordante. S’ensuivit une guerre académique de vingt-cinq ans : Hobbes publiait, Wallis réfutait ; Hobbes répondait, Wallis réfutait encore. Les deux hommes étaient également ennemis sur le plan religieux et politique. Hobbes continua jusqu’à ses 90 ans, jamais convaincu de son erreur.
6. Case 06 En 1897, l’État de l’Indiana manqua de passer une loi redéfinissant π à 3,2. Un médecin amateur, Edward Goodwin, avait « résolu » la quadrature du cercle et proposé au législateur d’utiliser sa méthode gratuitement — en échange du droit de faire payer les autres États. La Chambre des représentants vota le texte à l’unanimité. C’est un professeur de mathématiques de l’université Purdue, présent ce jour-là au Sénat pour une autre raison, qui convainquit les sénateurs d’ajourner le projet indéfiniment. Goodwin mourut en 1902, convaincu d’avoir raison.
7. Case 07 En 1882, le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann mit fin à 3 500 ans de recherche en une seule démonstration. S’appuyant sur les travaux de Charles Hermite — qui avait prouvé neuf ans plus tôt que le nombre e est transcendant —, Lindemann prouva que π est lui aussi transcendant : il n’est la racine d’aucun polynôme à coefficients entiers. Or, seuls des nombres algébriques sont constructibles à la règle et au compas. Donc, construire √π est impossible. Donc, la quadrature du cercle est impossible. Définitivement. Après trois millénaires.
8. Case 08 En 1775, l’Académie des sciences de Paris prit une décision sans précédent dans l’histoire des sciences : elle annonça officiellement qu’elle n’examinerait plus aucune solution proposée à la quadrature du cercle, à la trisection de l’angle ou au mouvement perpétuel. Les soumissions étaient si nombreuses — et toutes fausses — qu’elles saturaient le travail de l’institution. Une légende persistante alimentait cet afflux : on croyait qu’une récompense de 100 000 thalers avait été promise par Charles Quint au solutionniste. Cette rumeur, encore publiée dans une encyclopédie allemande en 1891, était entièrement inventée.
9. Case 09 En 1989, le mathématicien hongrois Miklós Laczkovich résolut une variante posée par le logicien Tarski en 1925 : peut-on découper un disque en morceaux et les réassembler pour former un carré ? Sa réponse est oui — mais avec 10⁵⁰ morceaux, soit un 1 suivi de cinquante zéros. Ces morceaux ne sont pas des formes découpables aux ciseaux : ce sont des nuages discontinus de points mathématiques, invisibles et non représentables. La démonstration repose sur l’axiome du choix, un principe contesté. La quadrature du cercle est donc impossible avec règle et compas, mais possible dans un espace mathématique infiniment plus abstrait.
10. Case 10 Voilà ce que nous dit ce problème millénaire : pendant 3 500 ans, l’humanité a cherché à réconcilier deux formes qui semblaient devoir se rejoindre. La démonstration de l’impossibilité, en 1882, n’a pas clos le sujet — elle l’a révélé. En cherchant π, on a inventé la méthode d’exhaustion, les nombres transcendants, la théorie des constructions algébriques. L’échec collectif a été plus fécond que bien des succès. Peut-être que les questions sans réponse exacte sont celles qui font le plus avancer l’humanité.