N° 413 · Mathématiques · Tome 4
Les nombres irrationnels sont-ils vraiment les nombres les plus étranges qui existent, ou sont-ils en réalité les plus courants de tous ?
Sujet : Les nombres irrationnels
Il existe une catégorie de nombres qui ne peuvent jamais s'écrire sous la forme d'une fraction, dont les décimales s'étendent à l'infini sans jamais se répéter ni suivre aucun motif prévisible. On les appelle les nombres irrationnels, et leur découverte, il y a plus de 2 500 ans, a provoqué l'une des plus grandes crises intellectuelles de l'histoire des mathématiques. Selon la légende, un disciple de Pythagore aurait été condamné à mort pour avoir révélé leur existence, tant cette réalité contredisait la vision du monde de toute une école de pensée. Pourtant, derrière ce scandale originel se cachent des objets mathématiques d'une richesse insoupçonnée : la diagonale d'un simple carré, le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle, la constante de croissance que l'on retrouve dans les intérêts bancaires ou la désintégration radioactive. Ces nombres, que les Grecs appelaient "indicibles", sont en réalité omniprésents dans la nature, dans l'art, dans la physique et dans les fondements mêmes de l'univers. Et contrairement à ce que l'on pourrait croire, les nombres rationnels que nous utilisons au quotidien ne sont qu'une infime exception dans la vastitude des nombres réels : la quasi-totalité de la droite numérique est peuplée d'irrationnels.
- Auteur
- Julien Lepage
- Publié le
- Lecture
- 2 min
Lire la transcription de la case 01
Bonjour ! Aujourd’hui, je vous propose de découvrir les nombres irrationnels, ces nombres qui ne peuvent jamais s’écrire comme une simple fraction. Ils ne sont pas rares, pas étranges : ils sont partout autour de vous. La diagonale d’un carré, le tour d’un cercle, la croissance d’une coquille… tout cela implique des irrationnels.
Lire la transcription de la case 02
Les premières traces remontent à 1700 avant notre ère ! Une tablette babylonienne, la YBC 7289, conservée à l’université Yale, représente un carré avec ses diagonales. Les scribes y avaient inscrit une valeur approchée de la racine carrée de 2 avec une précision de six décimales. Ils ne savaient pas que ce nombre était « irrationnel », mais ils l’utilisaient déjà pour construire.
Lire la transcription de la case 03
Vers 500 avant J.-C., un mathématicien pythagoricien nommé Hippase découvre qu’il est impossible d’exprimer la diagonale d’un carré comme une fraction. Problème : son maître Pythagore enseignait que « tout est nombre » ; entendez : tout s’exprime en fractions. Selon la légende, Hippase fut jeté à la mer. La réalité ? L’historien Pappus précise que c’est probablement une métaphore : « celui qui divulgue ce secret périra par noyade ». C’est une parabole, pas un fait établi.
Lire la transcription de la case 04
Le philosophe Platon consacre un passage entier de son dialogue « Théétète » aux irrationnels. Un jeune Athénien y rapporte la leçon de son maître Théodore, qui avait démontré l’irrationalité de la racine carrée de 3, de 5, jusqu’à 17, cas par cas. Le livre X des Éléments d’Euclide, vers 300 avant J.-C., pousse plus loin : il classe les irrationnels en 13 catégories distinctes selon leur complexité. C’est le traité le plus volumineux des 13 livres des Éléments.
Lire la transcription de la case 05
En mathématiques modernes, les irrationnels se divisent en deux grandes familles. Les « algébriques irrationnels » comme la racine carrée de 2 ou le nombre d’or : ils sont solutions d’une équation polynomiale à coefficients entiers. Les « transcendants » comme π et e : eux ne sont solutions d’aucune équation polynomiale, quelle que soit sa complexité. Cette distinction, établie formellement au XIXe siècle, révèle une hiérarchie de la complexité des nombres.
Lire la transcription de la case 06
En 1761, le mathématicien suisse Lambert démontre que π est irrationnel, plus de 2000 ans après qu’Archimède l’avait approximé ! En 1872, Hermite prouve que e est transcendant. En 1882, Lindemann prouve la transcendance de π, réglant définitivement un problème vieux de l’Antiquité : la « quadrature du cercle » est impossible. On ne peut pas construire un carré de même aire qu’un cercle à la règle et au compas. Jamais, et c’est désormais prouvé.
Lire la transcription de la case 07
En juin 1978, le mathématicien français Roger Apéry, 61 ans, annonce lors d’une conférence du CNRS avoir prouvé l’irrationalité de ζ(3), la somme des inverses des cubes : 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 +… Euler lui-même avait échoué sur ce problème vieux de 200 ans. Le public est sceptique : Apéry parle en français, plaisante, omet des étapes. Mais la preuve était réelle. On l’appelle aujourd’hui la « constante d’Apéry », ≈ 1,202. Sa transcendance reste inconnue en 2026.
Lire la transcription de la case 08
En décembre 2025, l’entreprise StorageReview calcule 314 000 milliards de décimales de π : un record. La même année, Linus Tech Tips et Kioxia atteignent 300 000 milliards, validé par le Guinness. Pourtant, 37 décimales de π suffisent pour calculer la circonférence de l’univers avec la précision d’un atome. Cette course existe pour tester les supercalculateurs et les algorithmes ; les décimales de π elles-mêmes servent de benchmark mondial en informatique haute performance.
Lire la transcription de la case 09
Le nombre d’or φ ≈ 1,618 est lui aussi irrationnel ; un comble pour les pythagoriciens qui en faisaient un symbole de beauté parfaite. Les spirales de graines dans les tournesols, l’arrangement des pétales de fleurs (3, 5, 8, 13… toujours des nombres de Fibonacci), les coquilles de nautile : ces structures maximisent l’espace en suivant des rapports proches de φ. Nuance importante : la présence du nombre d’or dans le Parthénon ou la Joconde est largement mythologique… les textes d’architecture grecs n’y font aucune référence.
Lire la transcription de la case 10
Les irrationnels sont une leçon d’humilité perpétuelle. On ignore encore si la constante γ d’Euler-Mascheroni est irrationnelle ; Hilbert disait que c’est un problème « devant lequel les mathématiciens restent impuissants ». On ne sait pas si π est un « nombre normal », c’est-à-dire si tous ses chiffres s’y distribuent également. Ce que l’on sait : ces nombres omniprésents, nés d’un scandale pythagoricien, structurent l’univers, de la physique quantique aux galaxies spirales. L’infini n’a pas fini de nous surprendre.
Transcription complète
Retrouvez ici le texte de l’épisode dans l’ordre de lecture.
- Case 01 Bonjour ! Aujourd’hui, je vous propose de découvrir les nombres irrationnels, ces nombres qui ne peuvent jamais s’écrire comme une simple fraction. Ils ne sont pas rares, pas étranges : ils sont partout autour de vous. La diagonale d’un carré, le tour d’un cercle, la croissance d’une coquille… tout cela implique des irrationnels.
- Case 02 Les premières traces remontent à 1700 avant notre ère ! Une tablette babylonienne, la YBC 7289, conservée à l’université Yale, représente un carré avec ses diagonales. Les scribes y avaient inscrit une valeur approchée de la racine carrée de 2 avec une précision de six décimales. Ils ne savaient pas que ce nombre était « irrationnel », mais ils l’utilisaient déjà pour construire.
- Case 03 Vers 500 avant J.-C., un mathématicien pythagoricien nommé Hippase découvre qu’il est impossible d’exprimer la diagonale d’un carré comme une fraction. Problème : son maître Pythagore enseignait que « tout est nombre » ; entendez : tout s’exprime en fractions. Selon la légende, Hippase fut jeté à la mer. La réalité ? L’historien Pappus précise que c’est probablement une métaphore : « celui qui divulgue ce secret périra par noyade ». C’est une parabole, pas un fait établi.
- Case 04 Le philosophe Platon consacre un passage entier de son dialogue « Théétète » aux irrationnels. Un jeune Athénien y rapporte la leçon de son maître Théodore, qui avait démontré l’irrationalité de la racine carrée de 3, de 5, jusqu’à 17, cas par cas. Le livre X des Éléments d’Euclide, vers 300 avant J.-C., pousse plus loin : il classe les irrationnels en 13 catégories distinctes selon leur complexité. C’est le traité le plus volumineux des 13 livres des Éléments.
- Case 05 En mathématiques modernes, les irrationnels se divisent en deux grandes familles. Les « algébriques irrationnels » comme la racine carrée de 2 ou le nombre d’or : ils sont solutions d’une équation polynomiale à coefficients entiers. Les « transcendants » comme π et e : eux ne sont solutions d’aucune équation polynomiale, quelle que soit sa complexité. Cette distinction, établie formellement au XIXe siècle, révèle une hiérarchie de la complexité des nombres.
- Case 06 En 1761, le mathématicien suisse Lambert démontre que π est irrationnel, plus de 2000 ans après qu’Archimède l’avait approximé ! En 1872, Hermite prouve que e est transcendant. En 1882, Lindemann prouve la transcendance de π, réglant définitivement un problème vieux de l’Antiquité : la « quadrature du cercle » est impossible. On ne peut pas construire un carré de même aire qu’un cercle à la règle et au compas. Jamais, et c’est désormais prouvé.
- Case 07 En juin 1978, le mathématicien français Roger Apéry, 61 ans, annonce lors d’une conférence du CNRS avoir prouvé l’irrationalité de ζ(3), la somme des inverses des cubes : 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 +… Euler lui-même avait échoué sur ce problème vieux de 200 ans. Le public est sceptique : Apéry parle en français, plaisante, omet des étapes. Mais la preuve était réelle. On l’appelle aujourd’hui la « constante d’Apéry », ≈ 1,202. Sa transcendance reste inconnue en 2026.
- Case 08 En décembre 2025, l’entreprise StorageReview calcule 314 000 milliards de décimales de π : un record. La même année, Linus Tech Tips et Kioxia atteignent 300 000 milliards, validé par le Guinness. Pourtant, 37 décimales de π suffisent pour calculer la circonférence de l’univers avec la précision d’un atome. Cette course existe pour tester les supercalculateurs et les algorithmes ; les décimales de π elles-mêmes servent de benchmark mondial en informatique haute performance.
- Case 09 Le nombre d’or φ ≈ 1,618 est lui aussi irrationnel ; un comble pour les pythagoriciens qui en faisaient un symbole de beauté parfaite. Les spirales de graines dans les tournesols, l’arrangement des pétales de fleurs (3, 5, 8, 13… toujours des nombres de Fibonacci), les coquilles de nautile : ces structures maximisent l’espace en suivant des rapports proches de φ. Nuance importante : la présence du nombre d’or dans le Parthénon ou la Joconde est largement mythologique… les textes d’architecture grecs n’y font aucune référence.
- Case 10 Les irrationnels sont une leçon d’humilité perpétuelle. On ignore encore si la constante γ d’Euler-Mascheroni est irrationnelle ; Hilbert disait que c’est un problème « devant lequel les mathématiciens restent impuissants ». On ne sait pas si π est un « nombre normal », c’est-à-dire si tous ses chiffres s’y distribuent également. Ce que l’on sait : ces nombres omniprésents, nés d’un scandale pythagoricien, structurent l’univers, de la physique quantique aux galaxies spirales. L’infini n’a pas fini de nous surprendre.
Ce qu’il faut retenir
- Un nombre irrationnel ne peut s'écrire ni comme une fraction ni comme un décimal fini ou périodique
- La première preuve d'irrationalité connue porte sur la racine carrée de 2, attribuée aux pythagoriciens vers 500 avant notre ère
- Pi (3,14159...), le nombre d'or (1,61803...) et la constante e (2,71828...) sont parmi les irrationnels les plus célèbres et les plus utiles
- Les nombres transcendants, sous-catégorie des irrationnels, ne sont solutions d'aucune équation polynomiale, ce qui les rend encore plus "exotiques"
- Georg Cantor a prouvé au XIXe siècle que les irrationnels sont infiniment plus nombreux que les rationnels, dans un sens mathématiquement rigoureux
- Plusieurs questions fondamentales restent ouvertes en 2026, notamment l'irrationalité de la constante d'Euler-Mascheroni et la normalité des décimales de pi
Sources et crédits
- Auteur et responsable éditorial
- Julien Lepage
- Date de publication
Références principales
- Galaxus (nouvel onglet)
- Maths en prépas (rajmaths.over-blog) (nouvel onglet)
- Forum Futura Sciences (nouvel onglet)
- Automaths (nouvel onglet)
- Étienne Ghys / ENS Lyon (nouvel onglet)
- Hippase de Métaponte — Wikipédia (nouvel onglet)
- hist-math.fr (Hippase) (nouvel onglet)
- Nombre irrationnel — Wikipédia (nouvel onglet)
- Zeste de Savoir (nouvel onglet)
- Slate.fr (nouvel onglet)
- Techno-Science (nombre irrationnel) (nouvel onglet)
- Mathesis Online (nouvel onglet)
- Tangente Magazine (irrationnels) (nouvel onglet)
- Tangente Magazine (transcendants) (nouvel onglet)
- Techno-Science (transcendants) (nouvel onglet)
- Nombre transcendant — Wikipédia (nouvel onglet)
- Pi — Wikipédia (nouvel onglet)
- Yan Pradeau (π transcendant) (nouvel onglet)
- BibMath (algébrique, transcendant) (nouvel onglet)
- Maths-et-tiques (histoire irrationnels) (nouvel onglet)
- Maths-et-tiques (Pi) (nouvel onglet)
- Pi — Nombrepi.com (nouvel onglet)
- Approximation de π — Wikipédia (nouvel onglet)
- Elucubrations (fabuleux destin de √2) (nouvel onglet)
- Techno-Science (histoire racine carrée) (nouvel onglet)
- Histoire de la racine carrée — Wikipédia (nouvel onglet)
- Nombre d'or — Wikipédia (nouvel onglet)
- Pediamath (nombre d'or) (nouvel onglet)
- Art-O-Rama (nombre d'or et narration) (nouvel onglet)
- Nombre irrationnel — Wikipédia (Cantor, normalité) (nouvel onglet)
- Vers l'infini et plus loin encore — Accromath (nouvel onglet)
- Argument diagonal de Cantor — Wikipédia (nouvel onglet)
- drgoulu (nombres univers) (nouvel onglet)
- dCode (décimales de Pi) (nouvel onglet)
- Historique du record Pi — math93.com (nouvel onglet)
- Tom's Hardware (record 314 trillions Pi) (nouvel onglet)
- King of Geek (record 300 trillions Pi) (nouvel onglet)
- Théorème d'Apéry — Wikipédia (nouvel onglet)
- Constante d'Apéry — Wikipédia (nouvel onglet)
- Tangente Magazine (constante d'Apéry) (nouvel onglet)
- Scientific American (Apéry) (nouvel onglet)
- Constante d'Euler-Mascheroni — Wikipédia (nouvel onglet)
- PlayMemorize (γ) (nouvel onglet)
- Wolfram MathWorld (Euler-Mascheroni) (nouvel onglet)
- Wolfram MathWorld (Apéry) (nouvel onglet)
- Wikiland (problèmes ouverts) (nouvel onglet)
- TrustMyScience (problème 80 ans irrationnels) (nouvel onglet)
- Philoforever (notion irrationnel) (nouvel onglet)
- Livre X Éléments d'Euclide — Wikipédia (nouvel onglet)
- Techno-Science (Livre X) (nouvel onglet)
- Academia.edu (découverte incommensurables) (nouvel onglet)
- Lato Sensu (Théétète) (nouvel onglet)
- Calculatrice-scientifique.eu (applications) (nouvel onglet)
- Nombre réels (Pascal Delahaye) (nouvel onglet)
- Arxiv (Waldschmidt, transcendance périodes) (nouvel onglet)
- Arxiv (Fischler, Bourbaki, irrationalité zêta) (nouvel onglet)
- Mediamaths (irrationnels) (nouvel onglet)
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