N° 429 · Mathématiques · Tome 4
Comment un simple carré a-t-il révélé un nombre impossible à écrire exactement ?
Sujet : √2
√2 paraît presque banal : c’est simplement la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1. Pourtant, ce nombre d’environ 1,41421356 a profondément marqué l’histoire des mathématiques. Les Babyloniens en possédaient déjà une approximation remarquable il y a près de 4 000 ans, tandis que les Grecs découvrirent qu’aucune fraction ne pouvait l’exprimer exactement. Aujourd’hui encore, malgré des milliers de milliards de décimales calculées, certaines propriétés de sa suite infinie de chiffres restent inconnues.
- Auteur
- Julien Lepage
- Publié le
- Lecture
- 2 min
Lire la transcription de la case 01
Bonjour ! Aujourd’hui, je vous propose de découvrir √2, le nombre qui donne la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1. Il vaut environ 1,414 213 56 et appartient aux nombres réels, algébriques et irrationnels. Derrière cette définition très simple se cache l’une des grandes étapes de l’histoire des mathématiques.
Lire la transcription de la case 02
Vers 1800 à 1600 avant notre ère, la tablette babylonienne YBC 7289 montre déjà une excellente approximation de √2. Sa valeur correspond à environ 1,414 212 96, à moins d’un millionième de la vraie valeur. On ignore toutefois exactement quelle méthode les scribes avaient utilisée pour obtenir une telle précision.
Lire la transcription de la case 03
Les Grecs découvrent ensuite qu’aucune fraction d’entiers ne peut mesurer exactement cette diagonale : côté et diagonale sont incommensurables. Aujourd’hui, on dit que √2 est irrationnel. Supposer √2 égal à une fraction irréductible conduit en effet à rendre son numérateur et son dénominateur tous deux pairs, ce qui est impossible.
Lire la transcription de la case 04
Une histoire célèbre affirme qu’Hippase de Métaponte aurait révélé ce secret et aurait été noyé par les pythagoriciens. Mais les témoignages sont tardifs, contradictoires et mélangent plusieurs récits. On ne sait ni qui découvrit réellement l’irrationalité de √2, ni même si √2 fut le premier irrationnel identifié.
Lire la transcription de la case 05
Les Śulba Sūtras indiens donnent eux aussi une remarquable approximation de √2, équivalente à 577/408, soit environ 1,414 215 686. Cette fraction est extraordinairement proche de √2 et réapparaît naturellement dans les meilleures approximations modernes. Plusieurs civilisations ont donc rencontré très tôt le même problème géométrique.
Lire la transcription de la case 06
Les meilleures fractions approchant √2 suivent une structure très régulière : 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, puis 239/169 et 577/408. Elles sont liées aux fractions continues et à l’équation dite de Pell. On peut ainsi approcher √2 avec une précision vertigineuse sans jamais l’atteindre exactement.
Lire la transcription de la case 07
√2 est partout dans notre quotidien. Les formats de papier de la série A utilisent un rapport proche de 1 sur √2 afin qu’une feuille coupée en deux conserve les mêmes proportions. En photographie, les ouvertures classiques progressent aussi par facteurs proches de √2 pour doubler ou diviser par deux la quantité de lumière.
Lire la transcription de la case 08
Même la cryptographie moderne utilise √2. Dans SHA-256, les premières constantes d’initialisation proviennent notamment des parties fractionnaires des racines carrées des premiers nombres premiers, dont √2. Ce choix fournit des constantes publiques et déterministes, plutôt que des valeurs arbitraires choisies secrètement.
Lire la transcription de la case 09
Des dizaines de milliers de milliards de décimales de √2 ont déjà été calculées, et leurs chiffres semblent se répartir comme au hasard. Pourtant, personne n’a démontré que √2 est un nombre normal, où toutes les suites de chiffres auraient les fréquences attendues. Des preuves ont parfois été annoncées, mais aucune n’a réglé le problème de façon reconnue.
Lire la transcription de la case 10
√2 relie une simple diagonale vieille comme la géométrie aux Babyloniens, aux Grecs, à l’Inde ancienne, au papier, à la photographie et à l’informatique moderne. Son irrationalité est parfaitement comprise, mais son histoire exacte et le comportement infini de ses chiffres gardent encore des zones d’ombre. Un nombre peut être élémentaire à définir et pourtant rester inépuisable à explorer.
Transcription complète
Retrouvez ici le texte de l’épisode dans l’ordre de lecture.
- Case 01 Bonjour ! Aujourd’hui, je vous propose de découvrir √2, le nombre qui donne la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1. Il vaut environ 1,414 213 56 et appartient aux nombres réels, algébriques et irrationnels. Derrière cette définition très simple se cache l’une des grandes étapes de l’histoire des mathématiques.
- Case 02 Vers 1800 à 1600 avant notre ère, la tablette babylonienne YBC 7289 montre déjà une excellente approximation de √2. Sa valeur correspond à environ 1,414 212 96, à moins d’un millionième de la vraie valeur. On ignore toutefois exactement quelle méthode les scribes avaient utilisée pour obtenir une telle précision.
- Case 03 Les Grecs découvrent ensuite qu’aucune fraction d’entiers ne peut mesurer exactement cette diagonale : côté et diagonale sont incommensurables. Aujourd’hui, on dit que √2 est irrationnel. Supposer √2 égal à une fraction irréductible conduit en effet à rendre son numérateur et son dénominateur tous deux pairs, ce qui est impossible.
- Case 04 Une histoire célèbre affirme qu’Hippase de Métaponte aurait révélé ce secret et aurait été noyé par les pythagoriciens. Mais les témoignages sont tardifs, contradictoires et mélangent plusieurs récits. On ne sait ni qui découvrit réellement l’irrationalité de √2, ni même si √2 fut le premier irrationnel identifié.
- Case 05 Les Śulba Sūtras indiens donnent eux aussi une remarquable approximation de √2, équivalente à 577/408, soit environ 1,414 215 686. Cette fraction est extraordinairement proche de √2 et réapparaît naturellement dans les meilleures approximations modernes. Plusieurs civilisations ont donc rencontré très tôt le même problème géométrique.
- Case 06 Les meilleures fractions approchant √2 suivent une structure très régulière : 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, puis 239/169 et 577/408. Elles sont liées aux fractions continues et à l’équation dite de Pell. On peut ainsi approcher √2 avec une précision vertigineuse sans jamais l’atteindre exactement.
- Case 07 √2 est partout dans notre quotidien. Les formats de papier de la série A utilisent un rapport proche de 1 sur √2 afin qu’une feuille coupée en deux conserve les mêmes proportions. En photographie, les ouvertures classiques progressent aussi par facteurs proches de √2 pour doubler ou diviser par deux la quantité de lumière.
- Case 08 Même la cryptographie moderne utilise √2. Dans SHA-256, les premières constantes d’initialisation proviennent notamment des parties fractionnaires des racines carrées des premiers nombres premiers, dont √2. Ce choix fournit des constantes publiques et déterministes, plutôt que des valeurs arbitraires choisies secrètement.
- Case 09 Des dizaines de milliers de milliards de décimales de √2 ont déjà été calculées, et leurs chiffres semblent se répartir comme au hasard. Pourtant, personne n’a démontré que √2 est un nombre normal, où toutes les suites de chiffres auraient les fréquences attendues. Des preuves ont parfois été annoncées, mais aucune n’a réglé le problème de façon reconnue.
- Case 10 √2 relie une simple diagonale vieille comme la géométrie aux Babyloniens, aux Grecs, à l’Inde ancienne, au papier, à la photographie et à l’informatique moderne. Son irrationalité est parfaitement comprise, mais son histoire exacte et le comportement infini de ses chiffres gardent encore des zones d’ombre. Un nombre peut être élémentaire à définir et pourtant rester inépuisable à explorer.
Ce qu’il faut retenir
- √2 est un nombre irrationnel et algébrique égal à environ 1,41421356
- Une tablette babylonienne vieille d’environ 3 700 ans en donne déjà une approximation extrêmement précise
- On ignore qui a démontré le premier que la diagonale du carré était incommensurable avec son côté
- Le récit affirmant qu’Hippase aurait été noyé pour avoir révélé cette découverte est probablement légendaire
- √2 intervient aujourd’hui dans les formats de papier, la photographie, la musique et même les constantes initiales de SHA-256
- On ne sait toujours pas démontrer si les chiffres de √2 sont distribués normalement
Sources et crédits
- Auteur et responsable éditorial
- Julien Lepage
- Date de publication
Références principales
- Yale Babylonian Collection — Yale Babylonian Collection, YBC 7289 et collections mathématiques
- Institute for the Study of the Ancient World, NYU — Before Pythagoras: YBC 7289
- Historia Mathematica, David Buckle — How the estimate of √2 on YBC 7289 may have been calculated
- MacTutor History of Mathematics — Indian Sulbasutras
- Mathematical Association of America — Ancient Indian Rope Geometry: Approximating √2
- Bhāvanā — Mathematics in India
- Stanford Encyclopedia of Philosophy — Pythagoreanism
- Pappus of Alexandria — Commentary on Book X of Euclid's Elements
- Project Gutenberg — Iamblichus, Life of Pythagoras
- Philosophie antique — Une nouvelle démonstration de l’irrationalité de racine carrée de 2 d’après Aristote
- Oxford Academic — Plato's Theaetetus, mathematics and irrational magnitudes
- Clark University — Euclid's Elements
- OEIS — A002193, decimal expansion of √2
- OEIS — A000129, Pell numbers
- OEIS — A001333, convergents to √2
- Wolfram MathWorld — Pythagoras's Constant
- Wolfram MathWorld — Pell Equation
- y-cruncher / Numberworld — Records of mathematical-constant computations
- Numberworld — Square Root of 2 computations
- arXiv, Richard Isaac — On the simple normality to base 2 of the square root of s
- arXiv, Pierpaolo Uberti — A note on normality of √2 in base 2
- University of Cambridge, Markus Kuhn — International standard paper sizes and √2
- Rijksmuseum — Jay Hambidge, The Elements of Dynamic Symmetry
- MacTutor — Earliest Uses of Symbols of Operation
- Florian Cajori, A History of Mathematical Notations — History of the radical sign and Descartes' notation
- RFC Editor — RFC 4634, SHA-256 initialization constants
- NIST — FIPS 180-4 Secure Hash Standard.
À transmettre aux autres curieux
Partager cette découverte
Le lien mène directement à ce sujet, sans passer par la page d’accueil.
Cette BD est dans le tome 4
Gardez cette histoire à portée de main.
Retrouvez-la avec 111 autres BD dans Découvre… — Tome 4, un livre à lire sans écran, à partager en famille ou à offrir.
Personnages, lieux et notions
Dans ce sujet
Entités communes
